谈及我国古代数学家，人们往往会立刻联想到祖冲之对圆周率的卓越贡献，亦或是《九章算术》所展现的辉煌成就。
然而，在宋元时期的数学领域中，存在一颗闪耀却长期被遗忘的明星，那就是秦九韶。
秦九韶（1208年－1268年）
这位出生于13世纪的杰出人物，在战乱不断的岁月中，凭借《数书九章》一书，为人类探索方程解法提供了指引，其成就可与当时西方最卓越的数学理念相媲美。
哈佛大学的首位科学史学科教授萨顿曾言：“在秦九韶所处的那个时代，他不仅是我国最杰出的数学家之一，而且在全世界范围内，他也是最为卓越的数学家之一。”
比利时知名数学史学家赖伯勒指出，秦九韶是中国数学界一位具有国际影响力的杰出人物，其地位无可争议。
他为何在世界数学史上占据着举足轻重的位置，并赢得了极高的赞誉呢？
乱世中的数学之光
秦九韶，生于1208年，卒于1268年，字道古，属于汉族，其祖籍位于鲁郡（现今的河南省范县），而他的出生地则是普州（现在的四川安岳县）。作为南宋时期的著名数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰齐名，被誉为宋元数学四大家。
秦九韶所处的时代，正是蒙古铁骑南下侵略的混乱时期。身为官宦家庭出身的他，在这战火纷飞的年代里，辗转于各地担任官职，亲身感受到了战争给社会带来的破坏。正是这样的亲身经历，让他的数学研究始终紧密围绕国家的经济民生。
四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆
在湖州为父守丧期间，一部在数学史上具有重要地位的著作《数书九章》应运而生，出版于1247年。这部著作内容丰富，包括天文历法、土地测量、税收分配、工程建设、商业交易等九个领域的问题，实乃一部运用数学方法解决实际问题的综合性百科全书。
《数书九章》：数学宇宙的瑰丽星图
在序言部分，他着重指出数学是“万物之宗”，并认为宇宙的规律（即道）与数学的法则（即数）在本质上是一致的。这一观念推动他通过对天文观测（例如“治历演纪”）以及音律调整（例如“音律发微”）的研究，提炼出了普遍适用的算法。
《数书九章》中包含81个问题，每个问题都包括“问”、“答”、“术”和“草”四个部分，其结构严谨。秦九韶的数学理念充分展现了数学的严谨性与逻辑性，成为人类数学史上不朽的璀璨篇章。
他更倾向于抽象出通用的算法（即“术”），而非仅仅针对个别问题进行解决。无论是运用“大衍术”来求解同余问题，还是运用“开方术”来解算方程，这些方法都形成了一套可以反复应用的规范化步骤，充分体现了现代程序设计的思维方式。
大衍总数术：穿越时空的模数智慧
秦九韶最为显著的成就，便是那被后世誉为“中国剩余定理”的精妙大衍总数术。
大衍求一术，亦称中国剩余定理，是解决同余方程组问题的核心方法。这一问题的求解起源可追溯至《孙子算经》中的“今有物不知数”问题。以《孙子算经》为例，其中的一个典型题目是：
物品的数量无法直接计数，若以三为基数进行分组，则每组多出两个；若以五为基数分组，则每组多出三个；而以七为基数分组时，每组又多出两个。请问这些物品究竟有多少件？
对于这类问题，如果用现代数学语言来描述，那就是
已知存在一些彼此互质的正整数m1、m2、m3、……、mn，以及一个正整数x，它们均符合条件。
求x的值。
该方案能够有效解决繁杂的同余方程组问题，其核心理念在《数书九章》的第一卷“大衍类”章节中得到了深入且巧妙的解释。
大衍总数术指出，对于各种问题中的数字，可以分为四类。首先，元数指的是那些尾数是单个零的数字……这些数字都是通用的，它们相乘的结果称为衍母。如果每个数字都达到了一定的衍母值，则将其减去，未能达到的称为衍数……对于所有的衍数，同样，如果它们达到了一定的衍母值，就减去，未能达到的则称为奇数。然后，将这些奇数代入大衍求一法中进行计算。
依照秦九韶的描述，他的求解步骤包括：首先，将m1、m2、m3、……、mn视为所谓的定数；其次，将这些定数的乘积M，即m1m2m3……mn，定义为衍母；然后，将衍母M除以每个定数mi，得到的商Mi，即M除以mi，称作衍数；随后，他将那些满足条件kiMi≡1 (mod mi）的ki称作乘率；最终，x的解可由这些乘率确定。
在《数书九章》的卷一和卷二《大衍类》中，秦九韶对“物不知数”这一数学问题进行了全面而系统的阐述。随后，明代数学家程大位将这一解法整理成了一首朗朗上口的《孙子歌诀》。
三人结伴走，七十人却寥寥无几；五株梅花绽放，枝头仅存二十一朵；七个兄弟欢聚一堂，团圆恰逢十五之半；减去一百零五，方能得知真相。
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
对3取余后的结果需乘以70，对5取余后的结果要乘以21，对7取余后的结果则乘以15，将这三个乘积相加，然后除以105或其倍数，最终得到的余数即为正确答案。以物不知数问题为例，依照歌诀计算得出的答案为23。
在西方世界，与《孙子算经》相类似的算法首次出现在1202年意大利数学家斐波那契所著的《算经》一书中。然而，直到1801年，德国数学家高斯在其《算术探究》一书中，才正式阐述了求解这一问题的方法。
这一流程看似繁复，实则其精髓在于追求一个数k，该数与特定“衍数”相乘后，再除以模数，所得余数应为1。秦九韶巧妙地运用了辗转相除法，将其转化为一套机械化的步骤，成功破解了这一难题。在《数书九章》中，“推计土功”、“积尺寻源”等题目，生动地体现了这一算法在工程计算领域所展现出的巨大力量。
西方的数学巨匠欧拉（生于1707年，逝于1783年）、高斯（生于1777年，逝于1855年）在数百年后才开始对此问题进行系统性的探究，而秦九韶的才智却早已超越了时空的界限。
正负开方术：高次方程求解的巅峰
秦九韶的成就之一是正负开方术，这是一种用于解决任意高次方程的普遍数值技术。在《数书九章》的第五卷“田域类”中，他针对“尖田求积”这一著名问题，列出了一道四次方程，并对求解步骤进行了详尽的阐述。
询问一段尖田的长度，两侧斜边各为十七步，中间宽度为九步……其面积为一百八十四步。求中间长度如何计算？方法如下：使用较小的宽度来求解。将面积设为实际值。中间宽度作为从方。将两侧斜边相乘，得到二百八十九，从中减去中间宽度的平方，余下……通过开连枝三乘方，得到中间长度。
问题：这块尖田的形状独特，其两条斜边长度均为17步，而中间的宽度为9步……其总面积为184平方步。请问，如何计算其中心线的长度？解答方法：我们可以运用少广术（即开方法）来解决这个问题。首先，我们将面积视为常数项（即实数部分），而中间宽度则作为一次项系数（即从方）。将两条斜边相乘，结果为289，再减去中间宽度平方（即81），得到208……接着，我们进行四次方根运算（即连枝三乘方），从而得到中心线的长度。
秦九韶的“正负开方术”着重于一套系统化的降次消元与迭代逼近方法。他别出心裁地运用算筹来排列方程的系数（即“随乘随加”），并持续调整对根的预估值（所谓“议得”），进行乘方累减（即“以方乘商”）以及逐步推进（即“退位”），从而逐步接近实际的根值。
此方法能够解决多达十次的方程问题，其步骤之清晰，堪比现代程序设计，且比西方知名的“霍纳法”早了整整五百年。在诸如“望敌圆营”、“计造石坝”等课题中，此术被应用来解决军事布局和水利工程中的复杂几何问题，充分体现了其广泛的实用性。
三斜求积术
秦九韶进一步发明了一种计算任意三角形面积的新方法，该方法基于三角形的三边长度。在他的著作《数书九章》卷五的第二题中，即“三斜求积”一节，有这样一句话：
询问沙田这一段，共有三个斜坡，其中最小的一个斜坡长十三里，中间的一个斜坡长十四里，最大的一个斜坡长十五里，每里等于三百步，那么请问这片田地究竟有多大？
他给出的计算方法是：
将小斜幂与大斜幂相加，再减去中斜幂，结果取一半，然后平方；接着用小斜幂去乘大斜幂，减去上一步的结果，再除以四，得到的商即为实数；一作为从隅，开平方后，即可得到乘积。
《数书九章》卷五第二题三斜求积
将他的方法换成现代数学语言即：
若一个三角形的三边长度分别是a、b和c，并且满足a大于等于b，b大于等于c的条件，那么这个三角形的面积可以计算得出。
这就是秦九韶所创立的公式。在当代数学领域，它等同于古希腊数学家海伦所提出的海伦公式。尽管海伦公式的诞生时间早于秦九韶的公式，然而，显而易见的是，秦九韶是独立研究并提出了自己的公式。
不朽的遗产：从河图洛书到现代密码
秦九韶的成就并未因南宋的覆灭而消失无踪。元代学者朱世杰在其著作《四元玉鉴》中，继承了秦九韶的高次方程解法，并对其进行了发扬光大。明代学者将《数书九章》收录进了《永乐大典》之中。而到了清代，《四库全书》更是对其赞誉有加，称其“在九章之外另辟蹊径，独树一帜”。
在当代，秦九韶的思想焕发出新的生机。
一方面，“大衍总数术”在电子通信领域以及密码学中扮演着重要角色，例如在RSA公钥系统中得到广泛应用；另一方面，它也深深影响着计算机科学，尤其在冗余校验方面。同时，“正负开方术”所蕴含的迭代理念，为现代数值计算方法，如牛顿迭代法，奠定了关键的基础。
李约瑟博士在《中国科学技术史》一书中明确指出，秦九韶在处理高次方程方面所采用的方法，堪称他在数学领域最为卓越的成就……因此，他理应被广泛认可为世界数学史上最杰出的先驱者之一。
秦九韶雕像
审视现代科技发展的根基，七百多年前秦九韶所激发的智慧火花，至今仍在数论、密码学以及数值计算的领域内炽热地燃烧着。
这位将宇宙之秘籍融入算筹之内的智者，理应在人类智慧的里程碑上镌刻下更为显著的痕迹——他不仅是华夏的秦九韶，更是全人类的秦九韶。
